Basale koncepter

Vi ved, at ordet "multiplikator" kommer fra ordet "formere sig".

Tag for eksempel tallet 12. For at faktorere det skal du skrive det forskelligt, nemlig som et "produkt" af faktorer.

Tallet 12 kan opnås ved at gange 2 med 6. Og 6 kan repræsenteres som produktet af 2 og 3. Som dette:

Nedbrydning af nummer 12 på multiplikatorer

Sådan ser trinvis faktorisering ud. De tal, der er understreget i billedet, er faktorer, der ikke kan udvides yderligere.

Faktorering af et polynom Er transformation af et polynom til et produkt, der er lig med det givne polynom.

5 måder at faktorere et polynom på

 
  1. Faktorer den fælles faktor.
  2. Forkortede multiplikationsformler.
  3. Grupperingsmetode.
  4. Valg af en komplet firkant.
  5. Faktorering af et firkantet trinomium.

Multiplikator grupperingsmetode

Gruppering faktorisering er mulig, når polynomierne ikke har en fælles faktor for alle medlemmer af polynomet.

Denne metode anvendes i tilfælde, hvor polynomet kan repræsenteres i form af par af udtryk på en sådan måde, at den samme faktor kan udvindes fra hvert par. Denne fælles faktor kan være parentes. Og så vil det originale polynom blive repræsenteret som et produkt, hvilket i høj grad letter opgaven.

Grupperingsmetoden kan faktoriseres i tre trin:

 
  1. Kombiner termerne for et polynom i grupper, der indeholder en fælles faktor. For klarhedens skyld kan de understreges.
  2. Faktorer den fælles faktor.
  3. De resulterende produkter har en fælles faktor i form af et polynom, der skal tages ud af parenteserne.

Du kan kombinere medlemmer af et polynom i grupper på forskellige måder. Og dens altid gruppering kan være vellykket til efterfølgende faktorisering. I dette tilfælde skal du fortsætte eksperimentet og prøve at gruppere andre medlemmer af polynomet.

For at forstå disse komplekse udtryk anvender vi multiplikatorgrupperingsreglen, når vi løser eksemplerne. Lad os overveje to måder.

Eksempel 1. Faktoriser efter grupperingsmetode: op - bp + ud - bd.

Hvordan vi beslutter:

1 vej

2-vejs

op - bp + ud - bd = (op - bp) + (ud - bd)

Bemærk, at p gentages i den første gruppe og d i den anden.

Træk den fælles faktor p ud i den første gruppe og den fælles faktor d i den anden.

Vi får: p (u - b) + d (u - b).

Bemærk, at den fælles faktor er (u - b).

Lad os tage det ud af parenteserne:

(u - b) (p + d).

Multiplikatorgrupperingen er færdig.

op - bp + ud - bd = (op + ud) - (bp + bd)

Bemærk, at u gentages i den første gruppe og b i den anden.

Træk den fælles faktor u ud i den første gruppe og den fælles faktor b i den anden.

Vi får: u (p + d) - b (p + d).

Bemærk, at den fælles faktor er (p + d).

Lad os tage det ud af parenteserne:

(p + d) (u - b).

Multiplikatorgrupperingen er færdig.

Summen ændres ikke fra permutationen af ​​vilkårene, derfor er begge svar korrekte:

(u - b) (p + d) = (p + d) (u - b).

Sådan fungerer algoritmen til at indregne et polynom i faktorer ved gruppering. Lad os fortsætte med at øve med eksempler.

Eksempel 2. Faktor udtrykket: c (m - n) + d (m - n).

Hvordan vi beslutter:

 
  1. Find den fælles faktor: (m - n)
  2. Træk den fælles faktor ud af parenteserne: (m - n) (c + d).

Svar: c (m - n) + d (m - n) = (m - n) (c + d).

Eksempel 3. Faktoriser ved anvendelse af gruppering: 5x - 12z (x - y) - 5y.

Hvordan vi beslutter:

5x - 12z (x - y) - 5y = 5x - 5y - 12z (x - y) = 5 (x - y) - 12z (x - y) = (x - y) (5 - 12z)

Svar: 5x - 12z (x - y) - 5y = (x - y) (5 - 12z).

Nogle gange, for at udlede et generelt polynom, er det nødvendigt at erstatte alle tegn på monomierne i parentes med deres modsatte. Til dette er minustegnet taget ud af parenteserne, og i parentes ændrer vi tegnene for alle monomier til det modsatte.

Lad os kontrollere, hvordan det er med følgende eksempel.

Eksempel 4. At faktorisere et polynom i faktorer ved hjælp af grupperingsmetoden: ax 2- bx 2+ bx - ax + a - b.

Hvordan vi beslutter:

 
  1. Vi grupperer termerne med to og sætter den fælles faktor i hvert par uden for beslaget:

økse 2- bx 2+ bx - ax + a - b = (ax 2- bx 2) + (bx - ax) + (a - b) = x 2(a - b) - x (a - b) + (a - b)

Vi har tre termer, som hver har en fælles faktor (a - b).

  1. Lad os nu tage parenteserne ud (a - b) ved hjælp af fordelingsloven for multiplikation:

x2(a - b) + x (b - a) + (a - b) = (a - b) (x 2+ x + 1)

Svar: økse 2- bx 2+ bx - ax + a - b = (a - b) (x 2+ x + 1)

Barnets onlineskole Skysmart hjælper dig med at lære at tælle hurtigt. Vores lærere forklarer ethvert matematikemne på en enkel og sjov måde, og den farverige interaktive lærebog og online tavle forhindrer dit barn i at kede sig.

Tilmeld dig en gratis introduktion til matematik og udvikl matematisk tænkning med Skysmart.

Lad os se på specifikke eksempler på, hvordan man faktorerer et polynom.

Nedbrydningen af ​​polynomer udføres i overensstemmelse med planen.

Faktorpolynomer:

\ [1) 14C {D ^ 2} + 49 {C ^ 2} D; \]

Kontroller, om der er en fælles faktor. Der er en fælles faktor, den er lig med 7 cd. Lad os tage det ud af parenteserne:

\ [14c {D ^ 2} + 49 {C ^ 2} d = 7cd (2d + 7c); \]

Udtrykket i parentes består af to udtryk. Der er ingen fælles faktor længere, udtrykket er ikke en formel for summen af ​​terninger, hvilket betyder, at nedbrydningen er komplet.

\ [2) 25 {x ^ 2} - 30xy + 9 {y ^ 2} \]

Kontroller, om der er en fælles faktor. Ikke. Polynomet består af tre udtryk, så vi kontrollerer, om der er en perfekt firkantformel. To udtryk er kvadrater af udtryk: 25x² = (5x) ², 9y² = (3y) ², det tredje udtryk er lig med det dobbelte af produktet af disse udtryk: 2 ∙ 5x ∙ 3y = 30xy. Derfor er dette polynom et perfekt firkant. Da det fordoblede produkt er med et minustegn, er dette forskellen i fuld firkant:

\ [25 {x ^ 2} - 30xy + 9 {y ^ 2} = \]

\ [= {(5x) ^ 2} - 2 \ CDOT 5X \ CDOT 3Y + {(3Y) ^ 2} = {(5x - 3Y) ^ 2}; \]

\ [3) {A ^ 3} - A; \]

Vi kontrollerer, om det er muligt at tage den fælles faktor ud af parenteserne. Der er en fælles faktor, den er lig med a. Lad os tage det ud af parenteserne:

\ [{A ^ 3} - A = A ({A ^ 2} - 1) = \]

Der er to udtryk i parentes. Kontroller, om der er en formel for forskellen i firkanter eller forskellen mellem terninger. a² - firkant a, 1 = 1². Dette betyder, at udtrykket i parentes kan skrives ved hjælp af formlen for forskellen i firkanter:

\ [= A (A - 1) (A + 1); \]

\ 4) 80 + 40a + 5 {a ^ 2}; \]

Der er en fælles faktor, det er 5. Vi tager det ud af parenteserne:

\ [80 + 40A + 5 {A ^ 2} = 5 (16 + 8a + {A ^ 2}) = \]

i parentes - tre termer. Kontroller, om udtrykket ikke er et perfekt kvadrat. To udtryk er firkanter: 16 = 4² og a² er kvadratet af a, det tredje udtryk er lig med det dobbelte af produktet 4 og a: 2 ∙ 4 ∙ a = 8a. Derfor er det en komplet firkant. Da alle udtryk er med et "+" tegn, er udtrykket i parentes det fulde kvadrat af summen:

\ [= 5 ({4 ^ 2} + 2 \ CDOT 4 \ CDOT A + {A ^ 2}) = 5 {(4 + A) ^ 2}; \]

\ [5) - 128x - 2 {x ^ 4}; \]

Vi fjerner den fælles faktor -2x uden for parenteserne:

\ [- 128x - 2 {x ^ 4} = - 2x (64 + {x ^ 3}) = \]

I parentes er summen af ​​to udtryk. Kontroller, om det givne udtryk er en sum af terninger. 64 = 4³, x³- terning x. Dette betyder, at binomialet kan udvides med formlen for summen af ​​terninger:

\ [= - 2x ({4 ^ 3} + {x ^ 3}) = \]

\ [= - 2x (4 + x) ({4 ^ 2} - 4 \ CDOT X + {X ^ 2}) = \]

\ [= - 2x (4 + x) (16 - 4x + {x ^ 2}); \]

\ [6) 4A + 24AB - 8B - 12 {A ^ 2} = \]

Der er en fælles faktor. Men da polynomet består af 4 termer, grupperer vi først termerne og først derefter tager den fælles faktor ud af parenteserne. Lad os gruppere den første periode med den fjerde, i den anden - med den tredje:

\ [= (4a - 12 {a ^ 2}) + (24AB - 8B) = \]

Fra de første parenteser udtager vi den fælles faktor 4a, fra den anden - 8b:

\ [= 4a (1 - 3a) + 8b (3a - 1) = \]

Der er ingen fælles faktor endnu. For at få det, fra de anden parentes tager vi "-" uden for parenteserne, mens hvert tegn i parentesene ændres til det modsatte:

\ [= 4a (1 - 3a) - 8b (1 - 3a) = \]

Nu fjerner vi den fælles faktor (1-3a) uden for parenteserne:

\ [= (1 - 3a) (4a - 8b) = \]

I de andre parenteser er der en fælles faktor 4 (dette er den samme faktor, som vi ikke satte uden for parenteserne i begyndelsen af ​​eksemplet):

\ [= 4 (1 - 3a) (A - 2B); \]

\ [7) 16 {m ^ 2} - 9 {n ^ 2} - 20m + 15n = \]

Da polynomet består af fire termer, udfører vi grupperingen. Lad os gruppere den første periode med den anden, den tredje - med den fjerde:

\ [= (16 {m ^ 2} - 9 {n ^ 2}) + (- 20m + 15n) = \]

I de første parenteser er der ingen fælles faktor, men der er en formel for forskellen i firkanter, i de andre parenteser er der en fælles faktor -5:

\ [= (4m - 3n) (4m + 3n) - 5 (4m - 3n) = \]

En fælles faktor (4m-3n) er dukket op. Lad os tage det ud af parenteserne:

\ [= (4m - 3n) ((4m + 3n) - 5) = \]

\ [= (4m - 3n) (4m + 3n - 5); \]

\ [8) 9 - 25 {x ^ 2} + 30xy - 9 {y ^ 2} = \]

Gruppering efter to vilkår er ineffektiv. Vi grupperer anden, tredje og fjerde periode:

\ [= 9 + (- 25 {x ^ 2} + 30xy - 9 {y ^ 2}) = \]

Der er ingen fælles faktor i parentes. Men hvis du tager "minus" ud af parenteserne, vises formlen for en komplet firkant i parenteserne:

\ [= 9 - (25 {x ^ 2} - 30xy + 9 {y ^ 2}) = \]

\ [= 9 - ({(5x) ^ 2} - 2 \ CDOT 5X \ CDOT 3Y + {(3Y) ^ 2}) = \]

\ [= 9 - {(5x - 3y) ^ 2} = \]

Den fælles faktor dukkede aldrig op. Men hvis vi repræsenterer 9 som 3², får vi formlen for forskellen i firkanter:

\ [= {3 ^ 2} - {(5x - 3Y) ^ 2} = \]

\ [= (3 - (5x - 3Y)) (3 + (5x - 3Y)) = \]

\ [= (3 - 5x + 3y) (3 + 5x - 3Y). \]

Selvfølgelig vil jeg hurtigt begynde at løse ligninger, uligheder, parametre, kompleks geometri og det mystiske 19. problem ...

Men måske er det værd at stoppe, for uden dette emne vil du ikke gå ud over den anden opgave.

Kammerat Polynomial hilser besøgende på min kanal ... Vent, ved du engang, hvem han er?
Kammerat Polynomial hilser besøgende på min kanal ... Vent, ved du engang, hvem han er?

Kunsten at transformere udtryk er mangesidig, interessant, informativ og begynder normalt i femte klasse - fra det øjeblik begreberne introduceres " monomial "og" polynom ".

Hvad " monomial "?

Forenklet - dette er et værk. Produktet af noget - tal, variabler i enhver positiv grad (hvis du er smart - skriv i kommentarerne, hvorfor det er positivt, hvis du ikke ved det - igen, bed i kommentarerne om at blive en smart pige).

Nå for eksempel 2x , 567x² Er monomier.

Både bare tal og bogstavelige variabler (for eksempel 7) Er også monomer, fordi dette er det samme produkt. Produkt af et tal eller en variabel med en.

Monomialer er forbundet med et så vigtigt koncept som monomial koefficient. Så for disse monomier:

Unchedule polynomier på multiplikatorer

følgende koefficienter: ⅛, 45, -2.

Funktionerne for addition og subtraktion er kun mulige for monomier, som, hvis de adskiller sig fra hinanden, kun med en numerisk koefficient (bogstaverne er de samme! Og deres grad også! breve er hellige, rør ikke ved dem! ). Sådanne operationer kaldes bringe lignende vilkår .

Hvis vi ikke kan finde sådanne udtryk, men samtidig langvarigt og vedholdende forsøger at tilføje dem sammen eller trække fra hinanden, forvandler vi ufrivilligt et harmløst og lille monomium til noget langt, ubehageligt og skræmmende.

В polynom .

567x² + 2x-7 , for eksempel.

Nogle gange støder du på flere sådanne polynomer på én gang eller endnu værre. Hvordan man er - besværlig og ubelejlig?!

Og det er her metoderne til faktorisering af polynomer kommer os til hjælp.

Multiplikatorer er noget velkendt, ikke sandt? Det kan siges, at det kommer fra en fjern barndom.
Husker du matematiske komponenter? Nå der, udbytte-divisor-kvotient, faktor-faktor-produkt? Dette er det i al sin herlighed.
Lad os sige, at der er en monomial 6x²k (eller 3 * 2 * x * x * k). 3.2, x og k her er vores faktorer. Eller sig, 3 * 2 * x er også en faktor.

Metode 1: parenteser

Unchedule polynomier på multiplikatorer

Sandsynligvis den mest populære måde at faktorisere polynomer på. Enkel, let, forståelig, næsten ingen grund til at tænke.

For at metoden skal fungere, har vi faktisk brug for tilstedeværelsen af ​​disse meget almindelige faktorer:

16x3-4x2 = 4x2 (4x-1);

12k + 3px² + 3 = 3 (4k + px² + 1);

17-12x⁴ ≠ men her fungerer dette tal ikke, fordi der ikke er nogen fælles faktorer her.

Hvis de er det, sætter vi dem ud af parentesen, og i parentes forlader vi det, der ikke er tilladt.

Metode to: FSU

Du bør kende disse breve som vores far.

Og jeg taler ikke om forkortelsen af ​​de forkortede multiplikationsformler, jeg taler om selve formlerne.

Dette er din vigtigste præundersøgelsesbøn, og du skal være forberedt på, at du bliver vækket klokken tre om morgenen, og du uden tøven og kløber som maskingevær Anka mod folks fjender, navngiv dem.

Alle.

Indtil en enkelt:

Kilde: https://mathvox.ru/
Kilde: https://mathvox.ru/

Jeg vil gerne henlede din opmærksomhed på, at formlen "sum af firkanter" ikke er på denne liste. Vær forsigtig og opfind ikke dine FSO'er.

Jeg vil også demonstrere løsningen af ​​to eksempler ved hjælp af disse formler - relativt enkle og normale:

Se på de firkantede og runde streger for, hvad det oprindelige udtryk var, og hvad det blev med formlerne
Se på de firkantede og runde streger for, hvad det oprindelige udtryk var, og hvad det blev med formlerne

Som du kan se, er sagen nødvendig og vital, hvis du presserende har brug for at forenkle et kæmpe eksempel.

Men hvad skal jeg gøre, når FSU er i nærheden og ikke lugter? Er der virkelig ingen vej ud?

Metode tre: gruppering

Unchedule polynomier på multiplikatorer

Denne metode er delvist en fortsættelse af emnet med parenteser.

Kun der er ikke en multiplikator, men flere fra hver gruppe.

En bestemt algoritme fungerer allerede her:

1. Hvis vi har et rod i udtrykket - gruppe monomier på en sådan måde, at de, der har en fælles faktor, som kan tages ud af beslaget, er ved siden af ​​hinanden.

For eksempel, x³ + 12y² - 3x²y -4xy ... På en eller anden måde er alt grimt og ikke indlysende. Lad os ordne denne lille gener:

x³-3x²y-4xy + 12²y

Og yderligere:

(x3-3x²y) - (4xy-12y²)

(man kunne forestille sig hvordan (x3-3x²y) + (- 4xy + 12y²), men minus er en farlig ting, og det er bedre ikke at joke med ham og slippe af med ham ved første mulighed )

Jeg advarer dig med det samme, at hvis du ikke har fundet ud af nøjagtigt, hvordan du omarrangerer, og hvorfor der overhovedet er behov for at omarrangere vilkårene - dette er normalt, er følelsen af ​​skønhed ikke umiddelbart indpodet. Men uden øvelse lærer du ikke at se hende. aldrig .

2. Vi udfører fælles faktorer for hver af vores grupper i parentes.

I vores eksempel vil det se sådan ud:

x² (x-3y) -4y (x-3x)

3. Chok! Efter at have fjernet de fælles faktorer fra vores udtryk kom ud ... en anden fælles faktor - (x-3y) ... Hvorfor ikke udholde det også?

(x-3y) (x²-4y)

Det er alt. Vi fik to smukke parenteser i stedet for en flok spredte monomier. Meget ofte forkortes de, hvis de er en del af en brøkdel.

Men hvad hvis grupperingen ikke hjælper? Hvad så?

Metode fire: faktorering af et firkantet trinomium

En snævert fokuseret metode, men derfor ikke mindre populær blandt kompilatorerne til eksamen (som faktisk de kvadratiske ligninger selv).

Enhver kvadratisk ligning, der har rødder, kan faktoriseres. I dette tilfælde er to situationer mulige:

  1. Den kvadratiske ligning har en rod. Så går nedbrydningen sådan:

ax² + bx + c = a (x-x1) ²

2. Og hvis to - så sådan:

ax² + bx + c = a (x-x1) (x-x2)

Derfor skal du huske denne måde at faktorisere på hver kvadratisk ligning hver gang du ser. Måske er skæbnen gunstig for dig, og nogle af parenteserne (eller endda to på én gang!) Bliver afkortet.

Så stop! Og kubisk? Og ligningerne i fjerde grad og højere? Hvad hvis formlerne for forkortet multiplikation med terninger ikke virker, intet tages ud, ikke grupperes, men på en eller anden måde skal denne rædsel fjernes?

Men vi taler om dette næste gang. Glem ikke at abonnere på kanalen, så du ikke går glip af noget!